1- Introduzione alla teoria dei giochi – Forme di rappresentazione e tipi di informazione

Continuando il percorso iniziato qualche giorno fa, concludiamo oggi la parte di definizioni necessaria a introdurre gli strumenti di teoria dei giochi che hanno trovato applicazione nella tesi discussa lo scorso febbraio. In questo post parleremo in particolare delle forme di rappresentazione di un gioco e dei tipi di informazione. La seconda questione era già stata trattata nel corso del mio primo intervento su questo blog, ma è bene riprendere tutti gli elementi necessari ad una comprensione globale della questione.

Forme di rappresentazione di un gioco

Come suggerito da Colombo (2003), affrontando lo studio di un gioco, si ricorrerà alle due forme di rappresentazione dello stesso più ricorrenti, ovvero la forma strategica e la forma estesa.
Un gioco in forma strategica è costituito da un insieme di giocatori, un insieme di strategie per ogni giocatore ed una funzione di pay-off per ogni giocatore, che ad ogni situazione sociale associa l’utilità per quel giocatore di trovarsi in quella particolare situazione
sociale.
Un gioco in forma estesa con n giocatori è in un albero dotato di un nodo iniziale, al quale sono associate delle etichette e dei pay-off in base alle regole seguenti: i nodi che appartengono al medesimo stato informativo sono collegati tramite una linea tratteggiata; ogni stato informativo che non sia un nodo terminale ha un’etichetta-giocatore; ogni alternativa in ogni nodo ha un’etichetta mossa; ad ogni nodo terminale è associato un payoff per ogni giocatore, che rappresenta l’utilità associata al raggiungimento di quel nodo.

Rappresentazione di un gioco in forma estesa
Rappresentazione di un gioco in forma estesa

E’ importante richiamare la rappresentazione di un gioco in forma estesa per illustrare alcune nozioni relative all’informazione nei giochi.

Informazione nei giochi

Si dice pertanto che un gioco è caratterizzato da informazione perfetta se tutti gli stati informativi sono “singleton”, ovvero non esistono due o più nodi che appartengono al medesimo stato informativo. In caso contrario, si ha un gioco con informazione imperfetta.
Un evento è conoscenza comune (CPA) tra una serie di giocatori se tutti lo conoscono, tutti sanno che tutti lo conoscono, tutti sanno che tutti sanno che tutti lo conoscono – e così ad infinitum. Come dimostrato da Luce e Raiffa (1957), questo concetto è fondamentale poiché, a prescindere dal tipo di informazione, ogni giocatore deve assumere la conoscenza del gioco, altrimenti non vi sarebbero sufficienti elementi per spiegarlo e l’analisi risulterebbe incoerente. Un’analisi più approfondita della questione in Fagin et al. (1995) muove dall’ormai celeberrimo esempio del Muddy Children Puzzle.

Tuttavia, l’applicazione di questi modelli a casi reali obbliga gli operatori a scontrarsi con situazioni in cui un giocatore possiede almeno un’informazione, detta informazione privata, che non sia conoscenza comune. Si parla di gioco con informazione incompleta qualora all’inizio del gioco esista almeno un giocatore che ha un’informazione privata. Risulta intuitivo al lettore il fatto che nessun gioco possa essere davvero ad informazione completa, in quanto ci sono sempre delle sfumature nei gusti e nelle preferenze degli altri giocatori di cui non possiamo essere a conoscenza. Le implicazioni dettate da questo dato di fatto potrebbero di per sé confutare l’intero apparato della teoria, poiché viene considerata come assunto la CPA.

Si può, quindi, considerare un gioco ad informazione incompleta, quale, a titolo esemplificativo, il card’s game in forma estesa presente in Myerson (1991): il giocatore I e il giocatore II ripongono entrambi un dollaro su un tavolo. Il giocatore I pesca una carta dal mazzo e, senza mostrarla al giocatore II, può scegliere se passare P o rilanciare R. Nel caso in cui il giocatore I decida di giocare P, i pay-off saranno (1,-1) qualora abbia pescato una carta rossa e (-1,1) se avrà pescato una carta nera. Se invece decide di giocare R, il giocatore II dovrà scegliere se vedere – con pay-off (2,-2) se la carta è rossa e (-2,2) se nera – o se ritirarsi, con pay-off sempre pari a (1,-1). In un certo senso, la prima mossa di questo gioco non è effettuata dal giocatore I, bensì dalla Natura (N) che equiprobabilmente farà estrarre al giocatore I una corta rossa o nera. Il giocatore I ha quindi un’informazione privata che può dare origine alla c.d. infinita gerarchia di credenze da parte del giocatore II riguardo la strategia adottata dal giocatore I, il colore della carta posseduta, nonché sulle strategie che il giocatore I adotterà in funzione delle credenze del giocatore II etc. A questo punto, ciascuno dei due giocatori assegnerà una distribuzione di probabilità al tipo di giocatore θ (ad es. “onesto” o “disonesto”) che si trova di fronte, senza risolvere il problema dell’infinita gerarchia di credenze che ha costituito per anni un ostacolo insormontabile per la trattazione di questi giochi.
L’esempio del card’s game si rifà al contributo di Harsanyi (1968) che aggira il problema dell’informazione incompleta subordinando la funzione di pay-off di ciascun giocatore ad una lieve perturbazione casuale. Si consideri un gioco con n giocatori in cui ciascuno di essi rappresenti uno di un numero finito di tipi θ1a , θ1b , θ1c … θnx . Il tipo di un giocatore descrive le credenze che un giocatore-tipo θ ha riguardo i tipi degli altri giocatori. Un sistema di credenze è una distribuzione di probabilità soggettive di ciascun tipo di giocatore θ. Si dice che un sistema di credenze è coerente se esiste una certa probabilità π su un insieme dei vettori di ogni tipo θ tale che le credenze di ciascun tipo di giocatore θ sia pari a una certa probabilità π condizionata da θ. In altre parole, questa differenza nelle probabilità associate ai singoli tipi θ dai diversi giocatori deve essere spiegata in ragione di una differenza informativa a priori. Le aspettative soggettive si aggiustano, poi, secondo la regola di Bayes riportata di seguito:

La regola di Bayes
La regola di Bayes

Per approfondimenti sul tema, si rimanda ai contributi successivi di Aumann (1987)Morris (1995), Nehring (2000) e Nyarko (2010).

Riferimenti bibliografici:

Aumann R. (1987), Correlated Equilibrium as an Expression of Bayesian Rationality, in “Econometrica” n. 55 p. 1007-1028

Colombo (2003), Introduzione alla teoria dei giochi, Carrocci Editore, Roma

Fagin R. et al. (1995), Reasoning About Knowledge, The MIT Press, Cambridge

Harsanyi J. (1968), Games with incomplete information played by Bayesian players, Parts I, II, III, in “Management Science” n. 14 p. 159-182

Luce R., Raiffa H. (1957), Games and Decisions: Introduction and Critical Survey, Dover Publications, New York

Morris S. (1995), The common prior assumption in Economic theory, in “Economics and Philosophy” n. 11, Cambridge University Press p. 227-253

Myerson R. (1991), Game Theory. Analysis of Conflict, Harvard University Press

Nehring K. (2000), Common Priors under Incomplete Information: A Unification, University of California

Nyarko Y. (2010), Most games violate the common priors doctrine, in “International Journal of Economic Theory” n. 6 p. 189–194

5 thoughts on “1- Introduzione alla teoria dei giochi – Forme di rappresentazione e tipi di informazione

    1. I’m currently quite busy with some job inteviews, but i’ll try to translate it soon. This is still an introduction that I provide in order to understand the application I did to firms’ competition under oligopoly. I’ll be back to you when I’ll do it!

      1. Great I’d look forward to it. And good luck for your interviews. Let me know if I can be of any assistance (Though my contacts are primarily in India only)

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