2.1 – Introduzione alla teoria dei giochi – Strumenti di soluzione: l’eliminazione iterata

Continuando il percorso iniziato con la definizione di teoria dei giochi e una breve classificazione delle principali forme di rappresentazione e dei tipi di informazione, in questo post ci occuperemo di introdurre in che modo questa teoria possa tradursi in strumento analitico per la risoluzione di situazione di interazione strategica.

Per soluzione di un gioco si intendono le strategie dei giocatori e le corrispondenti situazioni sociali che sono compatibili con alcune ipotesi riguardanti l’intelligenza e la razionalità dei giocatori, nonché il loro grado di conoscenza della struttura del gioco stesso. La classificazione più accreditata in dottrina identifica quattro concetti base di soluzione: le strategie che sopravvivono all’eliminazione iterata delle strategie strettamente dominate, le strategie razionalizzabili, l’equilibrio strategico (o di Nash) e l’equilibrio correlato.

Una strategia è strettamente dominata per un giocatore se non massimizza la sua utilità attesa soggettiva, qualunque siano le sue credenze sulle strategie adottate dagli altri. La letteratura sul tema delle strategie dominate opera una distinzione tra dominanza rispetto ai pay-off e dominanza rispetto al rischio. Harsanyi e Selten (1988) hanno evidenziato come tale distinzione si rifletta sulla distribuzione probabilistica associata a ciascuna strategia.

Di seguito è riportato un gioco in forma strategica al fine di illustrare il concetto di
eliminazione iterata.

Gioco proposto per esemplificare l'eliminazione iterata
Gioco proposto per esemplificare l’eliminazione iterata

Si ipotizzi che il giocatore I si trovi a dover scegliere quale strategia adottare tra A, B e C. Qualunque sia la strategia adottata dal giocatore II, B ≻ A (infatti se a 4>3, se b 3>2). Si può tuttavia immaginare che il giocatore I attribuisca una probabilità p al fatto che II giochi a e una probabilità 1-p al fatto che giochi b. In questo caso si avranno le seguenti utilità attese:

prob

Sapendo che si tratta di una distribuzione probabilistica, avremo 0≤p≤1 per definizione, e ∀p u(B) > u (A). Per il giocatore I B ≻ C allora u(B) > u(C), pertanto se p < 0,5. Risolvendo si avrà p + 3 > 5p + 1, quindi 4p < 2. Di qui si può affermare che se p < 0,5 I giocherà B, se p >0,5 giocherà C e se p = 0,5, allora sarà indifferente per I giocare B o C. Tuttavia, poiché i giocatori sono razionali, intelligenti e conoscono la struttura del gioco, II saprà che A rappresenta una strategia strettamente dominata di I, quindi dovrà scegliere tra le strategie aB, bB, aC e bC. Siccome aB ≻ bB (4 > 3) e aC ≻ bC (5 > 1), a ≻ b e la probabilità p che II giochi a è pari a 1. La soluzione sarà quindi aC.

sol

Il procedimento proposto in questa sede è valido anche nei casi in cui la soluzione sia raggiungibile solo adottando strategie miste. Ponendo il problema in termini di giochi a forma costante, si ricercheranno quei valori corrispondenti al min-max (in altri termini, la peggiore tra le migliori soluzioni) e al max-min (la migliore tra le peggiori). Il punto di sella nelle strategie pure è quello che individua contestualmente min-max e max-min.

Il teorema del minimax di Von Neumann assicura l’esistenza di una coppia di strategie miste (x*,y*) tali che:

minmax

La soluzione per il primo giocatore si ottiene risolvendo il  seguente problema di programmazione lineare:

maxv

nei vincoli

par1

dove m è il numero di strategie pure q disposizione del giocatore.

La soluzione per il secondo giocatore si ottiene invece con il duale del problema precedente:

minv

nei vincoli

par2

Dopo aver illustrato in maniera prima operativa e poi matematica il funzionamento di questo semplice meccanismo, potremo affrontare nel prossimi post gli altri tre metodi descritti nella sezione introduttiva del presente.

Ricordo che, per chi volesse, il testo integrale della mia tesi è disponibile a questo indirizzo.

Harsanyi J., Selten R. (1988), A general Theory of Equilibrium Selection in Games, MIT Press, Cambridge p. 344-352

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