2.2 – Introduzione alla teoria dei giochi – Strumenti di soluzione: strategie razionalizzabili

Nel post precedente abbiamo introdotto gli strumenti di soluzione di un gioco presentando il procedimento dell’eliminazione iterata. Al fine di illustrare il significato delle strategie razionalizzabili, si consideri ora il gioco a tre giocatori in forma strategica tratto da Brandeburger (1992):

Il gioco proposto in Bradeburger (1992)
Il gioco proposto in Brandeburger (1992)

La strategia ottimale per il giocatore III può essere individuata a partire dalle credenze adottate sulle strategie degli altri giocatori. Dopo aver mostrato che non esistono strategie strettamente dominate né per il giocatore I né per il giocatore II, siano le credenze di III r1, r2, r3, r4 ≥ 0 e r1+r2+r3+r4 = 1.

prob

L’utilità attesa per il giocatore III è 1 r1 +1 r2 + 0 r3 + 0 r4 = r1 + r2 se gioca A, 0,7 r1 + 0 r2 + 0 r3 + 0,7 r4 = 0,7 (r1+r4) se gioca B e 0 r1 + 0 r2 + 1 r3 + 1 r4 = r3+r4 se gioca C. Si ipotizzi di essere in presenza di un gioco del tipo Battaglia dei sessi tra giocatore I e II. Dal momento che r1= r4= 0,5 e r2=r3= 0, per il giocatore III B rappresenta la scelta ottima in quanto 0,7(r1+r4) > r1+r2 e 0,7(r1+r4) > r3+r4.

Si noti che la distribuzione delle credenze del giocatore III è stocasticamente dipendente, pertanto, osservando un altro giocatore giocare la sua prima mossa, egli potrebbe modificare le sue aspettative sul comportamento dell’altro giocatore. In questo caso la letteratura parla di strategia correlata.

Una variante di questo gioco può prevedere che le strategie dei giocatori I e II siano tra di loro stocasticamente indipendenti. In tal caso III assegnerà una probabilità p al fatto che I giochi U e una probabilità q al fatto che II giochi l. Avremo così:

prob2L’utilità attesa soggettiva associata alle sue tre strategie è uguale a 1 pq + 1 p(1-q) + 0 (1-p)q + 0(1-p)(1-q)= p in A, 0,7 pq + 0p (1-q) + 0 (1-p)q + 0,7(1-p)(1-q) = 0,7 (1-p-q+2pq) in B e 0 pq+ 0 p(1-q) + 1 (1-p)q +1 (1-p)(1-q) = 1-p in C.

Il lettore attento noterà che, ∀(p,q), A≻B aut C≻B siccome non può verificarsi contemporaneamente che 0,7(1-p-q+2pq) > p e 0,7 (1-pq+2pq)>1-p. Si dirà pertanto che B non è una strategia razionalizzabile, altrimenti dovrebbe sopravvivere all’eliminazione di tutte le strategie che non massimizzano l’attesa soggettiva del giocatore, qualunque siano le sue credenze sulle strategie adottate dagli altri giocatori.
Il risultato più sorprendente della soluzione di questo gioco con strategie razionalizzabili è che, qualora si considerino le strategie I e II stocasticamente dipendenti, la scelta ottima di III sarà B, altrimenti sarà la prima ad essere eliminata.

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