2.3 – Introduzione alla teoria dei giochi – Strumenti di soluzione: equilibrio strategico o equilibrio di Nash

In questo post introdurremo invece lo strumento di soluzione più noto al grande pubblico della teoria dei giochi: l’equilibrio di Nash. Premio Nobel per l’economia nel 1994, questo importante pensatore è conosciuto universalmente per la vasta applicazione che ha trovato il concetto di equilibrio strategico in tutti i campi, dalle discipline prettamente scientifiche a quelle umanistiche, ma forse ancor più per il proliferare di versioni romanzate della sua vicenda umana dopo il ritiro del prestigioso riconoscimento a Stoccolma. Proviamo ora a mettere da parte  l’approccio da cronaca rosa o da sussidiario con cui viene solitamente approcciato il suo contributo, ma proviamo a illustrarlo in maniera chiara e corretta.

L’equilibrio strategico è un insieme di strategie, una per giocatore, tale che ogni giocatore giochi una risposta ottima alle strategie adottate dagli altri giocatori. La risposta ottima (BR) per un certo giocatore è una strategia che massimizza la sua utilità attesa data la strategia adottata dagli altri giocatori.

Prendendo in esame il celeberrimo esempio del Dilemma del prigioniero, si avrà la seguente matrice di pay-off:

La classica rappresentazione della matrice di payoff del dilemma del prigioniero
La classica rappresentazione della matrice di payoff del dilemma del prigioniero

Si noti che se la risposta ottima per il giocatore I qualora il giocatore due giochi c è BRI(c)= C. Analogamene, BRI(nc)= C, BRII(C)= c e BRII(NC)= c. Pertanto la coppia (C,c) individua un equilibrio di Nash in strategie pure.

Si consideri ora un particolare equilibrio di Nash basato sul tipo, detto equilibrio Bayesiano. Di seguito è raffigurato il gioco Matching Pennies con informazione incompleta:

Matching Pennies con informazione incompleta
Matching Pennies con informazione incompleta

Si ipotizzi che sia conoscenza comune che θ1 assume il valore θ ̅ > 0 con una probabilità uguale a 0,5 e il valore -θ ̅ < 0 con una probabilità uguale a 0,5. In modo assolutamente simmetrico, si ipotizzi che sia conoscenza comune che θ2 assume il valore θ ̅ > 0 con una probabilità uguale a 0,5 e il valore –θ ̅ < 0 con una probabilità uguale a 0,5. In base alla rappresentazione in forma strategica ex ante di questo gioco, esistono quattro tipi di giocatori a cui si associa il seguente insieme di strategie: θ1=θ ̅ gioca come scelta ottima T, θ1= -θ ̅ gioca C, θ2= θ ̅ gioca t, θ2= -θ ̅ gioca c .

Infatti, dal momento che le strategie dei θ2 sono equiprobabili, se θ1 = θ ̅ gioca T avrà un’utilità attesa pari a 0,5(1+θ ̅ ̅) – 0,5 = 0,5θ ̅ ̅, mentre se decidesse di giocare C avrebbe un’utilità attesa pari a -0,5+0,5 = 0. Analogamente, se θ1 = -θ ̅ giocasse T avrebbe un’utilità attesa 0,5(1- θ ̅) – 0,5 = -0,5θ ̅ <0, mentre giocando C l’utilità sarebbe 0. Poiché anche le strategie dei θ1 sono equiprobabili, se θ2=θ ̅  gioca t avrà un’utilità attesa pari a 0,5(-1+ ̅) + 0,5 = 0,5θ ̅ >0, mentre se decidesse di giocare c avrebbe un’utilità attesa pari a 0,5-0,5 = 0.
Se, infine, se θ2=-θ ̅  giocasse t avrebbe un’utilità attesa 0,5(-1- θ ̅)+0,5 =-0,5θ ̅ <0, mentre giocando c l’utilità sarebbe 0.

Riconsiderando, ora, il gioco Matching Pennies nella forma classica:

Matching Pennies in forma classica
Matching Pennies in forma classica

Si nota immediatamente l’impossibilità di individuare un equilibrio strategico in strategie pure. Ricercandone uno in strategie miste, si ipotizzi che I giochi T con probabilità p e C con probabilità 1-p, mentre II giochi t con probabilità q, mentre c con probabilità 1-q. Se I gioca T la sua utilità attesa sarà uguale a q – (1-q) = 2q-1, mentre se gioca C sarà –q +1(1-q) = 1-2q. Pertanto:

mp_pq

Se II gioca t la sua utilità attesa sarà –p + (1-p) = 1-2p, se invece gioca c p – (1-p)= 2p -1. Di conseguenza si avrà:

mp_qp

Una volta rappresentate graficamente le curve di reazione p(q) e q(p), gli equilibri di Nash in strategie pure e in strategie miste saranno tutti e soli i punti di intersezione delle curve stesse. Il procedimento rimane invariato anche qualora si inserisca una perturbazione di Harsanyi legata al tipo θ. Ancorché piccolo, il valore di θ ≈ 0 elimina l’incertezza legata al fatto di giocare una strategia con probabilità 0,5. Pertanto la scelta non è più casuale, ma è
basata sul tipo θ.

Equilibrio di Nash come intersezione delle curve di reazione
Equilibrio di Nash come intersezione delle curve di reazione

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